Brady Kurtz urodził się 27 września 1996 roku w Cowrze. Przygodę z żużlową rozpoczął głównie za sprawą brata Todda. W wieku czterech lat Brady wsiadł na motocykl o pojemności 50 cc. W tzw. Flat tracku rywalizował do dziewiątego roku życia.

Dwa lata później już na maszynach o większej pojemności Brady Kurtz rozpoczął współpracę z Leigh Adamsem, legendą australijskiego żużla oraz Unii Leszno. Brady pierwsze kroki w Europie stawiał w Danii, gdzie zamieszkał w wieku 14 lat. Pomógł mu Rasmus Jensen, który zaproponował, aby Kurtz zagościł w jego domu.

Australijczyk startował na miniżużlu, a później trafił do ligi duńskiej oraz angielskiej. W Wielkiej Brytanii zamieszkał, gdy miał 17 lat. Z biegiem czasu utalentowanym zawodnikiem zaczęli się interesować działacze w Polsce. W 2016 roku Kurtz został żużlowcem Polonii Piła. Na pierwszoligowych torach prezentował się przyzwoicie, osiągając średnią 1,595 pkt/bieg.

Kolejny sezon w polskiej lidze miał dla Kurtza dwa oblicza. Najpierw Australijczyk nie otrzymywał zbyt wielu szans na jazdę w Polonii Piła. Na koniec sezonu został jednak wypożyczony do ekstraligowego ROW-u Rybnik. W drużynie 12-krotnego mistrza Polski młody zawodnik poczuł się bardzo dobrze i w dwóch meczach zwrócił na siebie uwagę szerszej publiczności.

W 2018 roku Kurtz trafił do Leszna. Już wcześniej był sponsorowany przez firmę Polcopper, która należy do Piotra Rusieckiego, prezesa Unii Leszno. Australijczyk nawiązał kontakt z prezesem "Byków" dzięki Leigh Adamsowi. Kurtz był dla Rusieckiego jak syn i zamieszkał w jednym z jego domów w Krzycku Małym. Później dołączyli do niego także inni Australijczycy.

Brady Kurtz bronił barw leszczyńskiego zespołu w latach 2018-2019. Zdobył z klubem dwa tytuły drużynowego mistrza Polski. W drużynie pełnił funkcję zawodnika "drugiej linii". Unia była zespołem złożonym z gwiazd, a Kurtz miał trudno zdobywanie punktów, co potęguje fakt, że jeździł w parze najczęściej z Emilem Sajfutdinowem.

W sezonie 2020 Kurtz przegrał rywalizację o miejsce w składzie ze swoim dobrym znajomym, Jaimonem Lidseyem. Brady po dwóch meczach opuścił klub i udał się na wypożyczenie do Orła Łódź. W nowym klubie punktował jednak na wysokim poziomie dopiero w 2021 roku. Zakończył rozgrywki ze średnią 2,194 pkt/bieg, będąc jednym z najlepszych zawodników 1. ligi.